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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
1) $f(x)=x^{2} \ln (x)$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
1) $f(x)=x^{2} \ln (x)$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=x^{2} \ln (x)$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero, es decir, $x > 0$.
Reportar problema
Por lo tanto, el dominio de $f$ es $(0,+\infty)$.
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $(0,+\infty)$, el $0$ es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$ por derecha para ver el comportamiento de la función:
$ \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)$
Acordate que $\ln(x)$ tiende a $-\infty$ cuando lo adentro tiende a cero, por lo tanto estamos frente a una indeterminación de tipo "0 x infinito". Fijate que en el curso les grabé un ejercicio de parcial donde ocurría exactamente esto. Como vimos en esa clase, para poder salvar esta indeterminación, primero vamos a reescribir $f(x)$ de una manera conveniente para poder aplicar L'Hopital.
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x^2} $
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", impecable, aplicamos L'Hopital.
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^3}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{2} = 0 $
Como el límite nos dio $0$, entonces en $x=0$ NO tenemos asíntota vertical (la función no se está yendo hacia infinito al acercarse a $0$ por derecha)
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $+\infty$ (fijate que por el dominio de $f$ no tiene sentido tomar límite cuando $x$ tiende a $-\infty$)
\( \lim_{x \to +\infty} x^2 \ln(x) = +\infty \)
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal
- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular $m$ y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
\( f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot (1/x) \)
Simplificamos:
\( f'(x) = 2x \ln(x) + x \)
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
\( 2x \ln(x) + x = 0 \)
Sacamos factor común $x$:
\( x (2 \ln(x) + 1) = 0 \)
Acordate que $x$ nunca vale cero (mirá el dominio de la función). Por lo tanto, tenemos que pedir que lo del paréntesis sea cero:
\( 2 \ln(x) + 1 = 0 \)
\( \ln(x) = -1/2 \)
\( e^{\ln(x)} = e^{-1/2} \)
\( x = e^{-1/2} \)
El punto crítico es \( x = e^{-1/2} \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
- \( 0 < x < e^{-1/2} \)
- \( x > e^{-1/2} \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
- Para \( 0 < x < e^{-1/2} \), \( f'(x) \) es negativa y entonces la función es decreciente.
- Para \( x > e^{-1/2} \), \( f'(x) \) es positiva y entonces la función es creciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.