Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 CABANA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

Anterior Siguiente
4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
1) f(x)=x2ln⁡(x)f(x)=x^{2} \ln (x)

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=x2ln⁡(x)f(x)=x^{2} \ln (x) siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero, es decir, x>0x > 0. 

Por lo tanto, el dominio de ff es (0,+∞)(0,+\infty).

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es (0,+∞)(0,+\infty), el 00 es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando xx tiende a 00 por derecha para ver el comportamiento de la función:

lim⁡x→0+x2ln⁡(x) \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)

Acordate que ln⁡(x)\ln(x) tiende a −∞-\infty cuando lo adentro tiende a cero, por lo tanto estamos frente a una indeterminación de tipo "0 x infinito". Fijate que en el curso les grabé un ejercicio de parcial donde ocurría exactamente esto. Como vimos en esa clase, para poder salvar esta indeterminación, primero vamos a reescribir f(x)f(x) de una manera conveniente para poder aplicar L'Hopital.

lim⁡x→0+ln⁡(x)1/x2 \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x^2}

Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", impecable, aplicamos L'Hopital.

lim⁡x→0+1/x−2/x3=lim⁡x→0+−x32x=lim⁡x→0+−x22=0 \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^3}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{2} = 0

Como el límite nos dio 00, entonces en x=0x=0 NO tenemos asíntota vertical (la función no se está yendo hacia infinito al acercarse a 00 por derecha)

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a +∞+\infty (fijate que por el dominio de ff no tiene sentido tomar límite cuando xx tiende a −∞-\infty)

lim⁡x→+∞x2ln⁡(x)=+∞ \lim_{x \to +\infty} x^2 \ln(x) = +\infty

Por lo tanto, ff no tiene asíntota horizontal

- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular mm y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=2xln⁡(x)+x2⋅(1/x) f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot (1/x)

Simplificamos:

f′(x)=2xln⁡(x)+x f'(x) = 2x \ln(x) + x

4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

2xln⁡(x)+x=0 2x \ln(x) + x = 0

Sacamos factor común xx:
x(2ln⁡(x)+1)=0 x (2 \ln(x) + 1) = 0 Acordate que xx nunca vale cero (mirá el dominio de la función). Por lo tanto, tenemos que pedir que lo del paréntesis sea cero: 2ln⁡(x)+1=0 2 \ln(x) + 1 = 0 ln⁡(x)=−1/2 \ln(x) = -1/2 eln⁡(x)=e−1/2 e^{\ln(x)} = e^{-1/2} x=e−1/2 x = e^{-1/2} El punto crítico es x=e−1/2 x = e^{-1/2} .

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

- 0<x<e−1/2 0 < x < e^{-1/2} - x>e−1/2 x > e^{-1/2}

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

- Para 0<x<e−1/2 0 < x < e^{-1/2} , f′(x) f'(x) es negativa y entonces la función es decreciente. - Para x>e−1/2 x > e^{-1/2} , f′(x) f'(x) es positiva y entonces la función es creciente.

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

2024-02-07%2019:43:48_6723850.png
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.